Lecture 03同样是压缩，离散词典与线性子空间留下不同东西

同样是压缩，离散词典与线性子空间留下不同东西

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词典/PCA数值、线性自编码约束、遮挡索引、masked ConvAE与MAE区别

从P19—22的MAE位置图进入，本册回答：限制什么，才能使重建不只是复制输入？

先读“MAE让昂贵编码器只看少量位置”，手写可见位置、补位顺序和隐藏loss分母；再看LAB 08保存的同图重建与冻结读出。你的产出是一张对照：模型恢复了哪些像素，哪些下游能力另外测过，两者为什么不能互相代替。

PCA、去噪与词典的推导保留在前半部，遇到瓶颈或误差问题再回读。需要一个无需神经网络的实际优化入口时，选LAB 05像素词典。可直接引用隐藏loss分母或重建限制。

如果不提供“猫”“杯子”这样的类别标签，图像还有什么可以当答案？最直接的是图像自身：把它压缩、破坏或遮住一部分，再让模型恢复。困难不在于是否有监督数值，而在于我们允许模型怎样取得它。把输入原样复制到输出可以获得零误差，却没有迫使模型形成有用的表示。重建方法之间真正改变的是限制条件：代码可以取什么值、信息从哪里通过、哪些位置可见，以及误差计算在哪里。

同样是压缩，离散词典与线性子空间留下不同东西

把一个 $2\times2$ 灰度 patch 展平为 $x\in\mathbb R^4$ 。K-means 学习 $K$ 个中心 $c_k$ ，用最近中心的索引编码：

$a(x)=\arg\min_k\|x-c_k\|^2,\qquad \hat x=c_{a(x)}.$

若词典恰为 $c_1=(1,0,1,0)$ 、 $c_2=(0,1,0,1)$ ，它可以零误差重建左右两种明暗边，但 $(0.5,0.5,0.5,0.5)$ 到两中心的平方距离都为 1，只能按约定任选其一。代码被限制为一个离散索引，约需 $\log_2 K$ bit，另须存储词典；这不是任意实数向量的无损压缩。改变 $K$ 会改变量化误差与存储成本。原 LAB 05 在真实 MNIST patch 上进行 Lloyd 拟合，可查看中心怎样随数据形成，而非只背“无监督”这个标签。

PCA 改用连续线性坐标。对已减去均值的 $x$ ，选列正交矩阵 $U\in\mathbb R^{d\times k}$ ，编码 $z=U^Tx$ ，重建 $\hat x=Uz$ 。最小化平方重建误差等价于保留协方差最大的 $k$ 个方向。

用四点 $(2,0),(-2,0),(0,1),(0,-1)$ 手算。均值为 0，按 $1/4$ 计算协方差是 $\mathrm{diag}(2,0.5)$ 。只保留一维时选横轴，四点重建为 $(2,0),(-2,0),(0,0),(0,0)$ ；逐点平方误差为 $0,0,1,1$ ，平均 0.5。若选纵轴，平均误差为 2。被丢掉的方向方差小，不代表它对任务不重要：如果标签恰好区分纵坐标正负，PCA 的最优重建轴可能删去标签所需的差异。

PCA 的平方误差与 MAE 的位置恢复

左图按真实坐标画出四点和一维投影；右图展示 patch 的乱序、可见项与恢复位置。两者都在重建，但一个限制子空间，一个限制输入可见性。

PCA 为什么可以看成受约束的线性自编码器

自编码器由 $z=f_\theta(x)$ 与 $\hat x=g_\phi(z)$ 组成，以 $\|x-\hat x\|^2$ 等重建损失更新参数。令 $f(x)=U^Tx,g(z)=Uz$ 并要求 $U^TU=I$ ，就得到上面的 PCA 形式。一般线性、低秩、平方误差自编码器也能学到 PCA 的主子空间，尽管编码坐标不一定等于标准主成分；平移、旋转等参数化差异要与重建子空间区分。

所以 SVD 可以精确说明一种线性自编码约束，但 SVD 本身没有执行一个另行承诺的非线性网络训练。引入非线性编码器和解码器以后，表示可以适应弯曲的数据结构；也可能凭较大容量记忆训练样本。瓶颈维数、正则化、跳连是否绕过瓶颈、训练与保留误差，都影响我们能否把低损失解释为学到了结构。

去噪自编码器进一步改变训练对：先从破坏分布采样 $\tilde x\sim q(\tilde x\mid x)$ ，再最小化 $\mathbb E\|g(f(\tilde x))-x\|^2$ 。输入是带噪图片，目标仍是干净图片。训练时不给模型干净图，不能在可视化时偷偷把目标的边缘或 mask 喂回去。Gaussian 噪声、置零像素和随机遮块提出不同恢复任务；噪声太轻会接近复制，太重可能留下不足以判断的证据。在去噪自编码器原论文中，破坏过程正是组织表示学习的一个关键约束。

平方误差还有一个值得记住的性质：最佳预测是给定输入后的条件均值。若一个被遮挡像素在其余条件相同下等概率为 0 或 1，输出 0.5 的平均平方误差是 0.25，而总是输出 0 或 1 的误差是 0.5。模糊有时来自目标的统计偏好，不一定只是网络没有优化好。下一讲讨论采样时会重新遇到这个问题。